數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總！

　　年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征

　　①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

　　②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

　?、蹆蓚€(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。

　　植樹(shù)問(wèn)題

　　基本類(lèi)型：

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù)。

　　雞兔同籠問(wèn)題

　　基本概念：

　　雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)。

　　基本思路：

　　①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

　?、诩僭O(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

　?、勖總€(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

　　④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

　　基本公式：

　?、侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）

　?、诎阉型米蛹僭O(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

　　關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

　　盈虧問(wèn)題

　　基本概念：

　　一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

　　基本思路：

　　先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。

　　基本題型：

　?、僖淮斡杏鄶?shù)，另一次不足；

　　基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　　②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

　　基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　?、郛?dāng)兩次都不足；

　　基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　　基本特點(diǎn)：

　　對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

　　牛吃草問(wèn)題

　　基本思路：

　　假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

　　基本特點(diǎn)：

　　原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定兩個(gè)不變的量。

　　基本公式：

　　生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；

　　總草量=較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量。

　　周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

　　周期現(xiàn)象：

　　事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

　　周期：

　　我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定循環(huán)周期。

　　閏年：一年有366天；

　?、倌攴菽鼙?整除；

　?、谌绻攴菽鼙?00整除，則年份必須能被400整除。

　　平年：一年有365天。

　?、倌攴莶荒鼙?整除；

　　②如果年份能被100整除，但不能被400整除。

　　平均數(shù)問(wèn)題

　　平均數(shù)

　　基本公式：

　　①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

　　總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

　　總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

　?、谄骄鶖?shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)

　　基本算法：

　　①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算；

　?、诨鶞?zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；較后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②。

　　抽屜原理

　　抽屜原則一：

　　如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0

　?、?=2+2+0④4=2+1+1

　　觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　抽屜原則二：

　　如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:

　　①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

　?、趉=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

　　理解知識(shí)點(diǎn)：

　　[X]表示不超過(guò)X的較大整數(shù)。

　　例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

　　奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)（定義新運(yùn)算）

　　奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)（數(shù)列求和）

　　等差數(shù)列：

　　在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

　　基本概念：

　　首項(xiàng)：等差數(shù)列的較好個(gè)數(shù)，一般用a1表示；

　　項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

　　公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

　　通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

　　數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示。

　　基本思路：

　　等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

　　基本公式：

　　通項(xiàng)公式：an=a1+（n－1）d；

　　通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)×公差；

　　數(shù)列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；

　　數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；

　　項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)÷d＋1；

　　項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；

　　公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定已知量和未知量，確定使用的公式。

　　加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

　　加法原理：

　　如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在較好類(lèi)方法中有m1種不同方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同方法……，在第n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2.......+mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定工作的分類(lèi)方法。

　　基本特征：

　　每一種方法都可完成任務(wù)。

　　乘法原理：

　　如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做步有m1種方法，不管步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定工作的完成步驟。

　　基本特征：

　　每一步只能完成任務(wù)的一部分。

　　直線：

　　一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

　　直線特點(diǎn)：

　　沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

　　線段：

　　直線上任意兩點(diǎn)間的距離，這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

　　線段特點(diǎn)：

　　有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

　　射線：

　　把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。

　　射線特點(diǎn)：

　　只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。

　?、贁?shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）；

　?、跀?shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；

　?、蹟?shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù)；

　?、軘?shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)。

　　質(zhì)數(shù)與合數(shù)

　　質(zhì)數(shù)：

　　一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

　　合數(shù)：

　　一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

　　質(zhì)因數(shù)：

　　如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

　　分解質(zhì)因數(shù)：

　　把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是的。

　　分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：

　　N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。

　　求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：

　　P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)。

　　互質(zhì)數(shù)：

　　如果兩個(gè)數(shù)的較大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。